5.5 Grenzverhalten von Funktionen
Mit Grenzverhalten oder Globalverhalten ist gemeint: Wie entwickeln sich die Funktionswerte, wenn man für x Zahlen mit immer größeren Beträgen einsetzt. Also die positiven Zahlen 100, 200, 1000 oder noch größer oder die negativen Zahlen -100, -1000 ...
Um das Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen zu beurteilen, muss man die Potenzfunktionen kennen.
Eine ganzrationale Funktion lässt sich immer in die Polynomdarstellung bringen: 
Die Polynomdarstellung ist eine Summe aus lauter Potenzfunktionen. Wenn man das Global- oder Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion beurteilen möchte, dann braucht man sich nur die Potenzfunktion mit dem Leitkoeffizienten an anzusehen.
Satz über das Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen
Eine ganzrationale Funktion verhält ich für große Beträge von x wie die Potenzfunktion 
.
Beispiele:
Die Funktion 
verhält sich für große Beträge von x wie die Funktion 
.
Probieren Sie das aus: Wenn Sie in Geogebra (www) diese beiden Funktionsgrafen eingeben, und sich die Fuhnktionsgrafen heraus-zoomen, bis die x-Achse z.B. von -10 bis 10 geht, dann können Sie zwichen den beiden Funktionsgrafen kaum noch einen Unterschied erkennen.
Grenzwertbetrachtungen mit "lim"
Begründung für den oben stehenden Satz:
Wenn man den Leit-Term ausklammert, dann ergibt sich:
Alle Terme in der Klammer, bei denen x im Nenner steht, werden bei wachsendem x immer kleiner und verlieren daher zunehmend an Bedeutung. Übrig bleibt am Ende nur die 1.
Man schreibt mathematisch korrekt auch:
Das heißt, wenn x gegen plus unendlich strebt, dann strebt auch f(x) gegen plus unendlich. Und zwar genau so, wie die Funktion 
,
weil 
Wenn x gegen minus unendlich strebt, dann sieht das so aus:
heißt "Der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen unendlich ist plus unendlich"
Das heißt, wenn man immer größere x in f(x) einsetzt, dann wandert der Funktionswert f(x) gegen plus unendlich.
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