9 Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable (meistens x) im Exponenten einer Basis steht:
Beispiele:
, ,
Im letzten Beispiel ist die Basis ein e. Dies ist die sogenannte Eulersche Zahl (e = 2,71828182846) hat unedlich viele Stellen hinter dem Komma, und ist eine sogenannte irrationale Zahl, sie lässt sich nicht als Bruch darstellen.
die Funktion exp(x)=e^x ist die einzige Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitungsfunktion ist. Aus diesem Grund wird sie - trotz der vielen stellen hinter dem Komma - sehr oft verwendet.

Einstiegsproblem

Denken Sie sich ein beliebig großes Stück Papier, Zum Beispiel eie Zeitung. Papier hat etwa die Dicke eines Zehntel Millimeters, also d=0,0001 m. Die mittlere Entfernung der Erde zum Mond beträgt 384400 km.
Nun die Frage: Wie oft muss man das Stück Papier in der Mitte falten, bis der Papierstapel so hoch ist, wie die Entfernung der Erde zum Mond? Denken Sie daran, mit jedem Mal falten wird das Papier zwar halb so groß, der Stapel aber doppelt so dick.
Die +Lösung ist ein schönes Beispiel dafür, wie schnell eine Exponentialfunktion wächst. Meistens geht der Anstieg recht "gemütlich" los, aber die Funktionen wachsen nicht nur, sondern die Geschwindigkeit des Wachstums nimmt immer weiter zu.

Exponentialfunktionen im "normalen Leben"

Wachstum oder Zerfall