6 Einführung in die Differentialrechnung

Mit der Differenzialrechnung berechnet man, wie stark sich die Funktionswerte einer Funktion ändern, wenn sich das x ändert.

Bei linearen Funktionen f(x) = m · x + b haben wir für diese Änderung einen Namen: Die Steigung m. Hat eine lineare Funktion eine positive Steigung, dann geht der Funktionsgraph mit wachsendem x nach oben. Ist die Steigung negativ, dann geht der Funktionsgraph mit wachsendem x nach unten. Und am Betrag der Steigung kann man sogar ablesen, wie steil ein Graph nach oben oder nach unten geht.

Wenn der Funktionsgraph allerdings nicht mehr gerade ist, sondern irgend eine "gebogene" Linie, dann ist die Steigung des Funktionsgraphen an jeder Stelle x eine andere:

Die Kapitel

6.1 Durchschnittliche Steigung in einem Intervall [a;b] - Sekantensteigung
6.2 Steigung an einer Stelle "x" - grafische Lösung - Tangentensteigung
+6.3 Berechnen der Steigung an einer Stelle x - der Differentialquotient
+6.4 Berechnen der Steigung an einer beliebigen Stelle x - die Ableitungsfunktion oder die Tangentensteigungs-Funktion einer Funktion f
+6.5 Rechenregeln für die Berechnung von Ableitungsfunktionen - die Ableitungsregeln

6.1 Durchschnittliche Steigung in einem Intervall [a;b] - Sekantensteigung

Eine Sekante ( → ) schneidet den Funktionsgraphen von f(x) in den Punkten A und B.

Der Differenzenquotient

Wenn man die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgrafen zwischen den Stellen bei x = -1 und x = +1 berechnen möchte, dann braucht man nur eine Gerade zu zeichnen, die den Funktionsgraphen an diesen beiden Stellen schneidet (in der Abbildung in den Punkten A und B). Die Steigung dieser Geraden ist die Durchschnittliche Steigung im Intervall [ -1 ; 1 ].
Man berechnet diese durchschnittliche Steigung mit dem Differenzenquotienten:

Dies ist die Steigung der Sekante, die durch die Punkte A und B geht.

6.2 Steigung an einer Stelle "x" - Tangentensteigung

Eine Tangente ( → ) berührt den Funktionsgraphen von f an der Stelle x = 0,5 im Punkt C

Wenn aber die Steigung genau an einer Stelle bestimmt werden soll, zum Beispiel x = 0,5 , dann ist so eine durchschnittliche Steigung oft nicht genau genug. Dann ist es genauer eine Tangente an dieser Stelle einzuzeichnen und die Steigung dieser Tangente zu bestimmen. Grafisch ist das kein Problem aber rechnerisch fehlt dazu das Werkzeug, denn um genau so vorzugehen, wie bei der durchschnittlichen Steigung, fehlt uns hier ein zweiter Punkt. Die rechnerische Lösung liefert uns die Differenzialrechnung.

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