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7.4 Berechnen von Wende- und Sattelpunkten

7.4.1 Was ist ein Wendepunkt
7.4.2 Notwendige Bedingung für Wendestellen
7.4.3 Hinreichende Bedingung für Wendestellen
7.4.4 Berechnen der y-Koordinaten für Wendestellen
7.4.5 Aufgaben

7.4.1 Was ist ein Wendepunkt?

Bei einem Wendepunkt geht eine Rechtskrümmung des Funktionsgraphen in eine Linkskrümmung über oder umgekehrt. Wir haben in Kapitel → 7.2 gesehen, dass man von den Funktionswerten der zweiten Ableitung die Krümmungsrichtung des Funktionsgraphen von f(x) ablesen kann.

  • Ist

, dann besteht an dieser Stelle eine Linkskrümmung

  • Ist

, dann besteht an dieser Stelle eine Rechtskrümmung

  • Bei einem Wendepunkt muss daher

sein. Dies ist auch die Notwendige Bedingung für die Berechnung einer Wendestelle:

Was ist ein Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, mit der Besonderheit: die Steigung bei einem Sattelpunkt ist gleich Null.

7.4.2 Notwendige Bedingung für Wendestellen

Bei Wendepunkten liegt immer eine extreme Steigung vor. Da die Funktionswerte der ersten Ableitungsfunktionen die Steigungen der Funktion wiedergeben, sind Wendestellen einer Funktions f(x) immer Extremstellen von deren Ableitungsfunktion.
Wenn wir die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion f'(x) gefunden haben, dann haben wir gleichzeitig die Wendestelle der Funktion f(x) gefunden. daher kann man die notwendige Bedingung für Wendestellen der Funktion f(x) auch denken, als die notwendige Bedingung für eine Extremstelle der ersten Ableitung. Auch das führt zu .

Aber:

Leider ist diese Funktion nicht hinreichend, denn es gibt Funktionen wie diese:

Hier liegt ein normaler Wendepunkt W an der Stelle x=1 vor, aber an der Stelle x = 3 im Punkt P hat die Funktion zwar keine Krümmung, hier ist aber trotzdem kein Wendepunkt.
Im Punkt P ändert sich die Krümmungsrichtung nicht und es ist auch keine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion. Solche Punkte entstehen immer dann, wenn die erste Ableitungsfunktion einen Sattelpunkt hat.
Daher gibt es wie bei der Berechnung von Extrempunkten auch hier noch eine hinreichende Bedingung. Diese ist fast die gleiche, wie die Bedingung für die Extremstellenm, sie hat nur "einen Strich mehr":

7.4.3 Hinreichende Bedingung für Wendestellen

Wenn die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt ist, also f''(xW)=0, dann muss also noch eine hinreichende Bedingung berechnet werden:

7.4.3.1 Die hinreichende Bedingung mit der dritten Ableitungsfunktion

Dieses Kriterium ist am einfachsten anzuwenden und daher in den meisten Fällen empfohlen.
Wenn an einer Stelle xW die dritte Ableitungsfunktion einen positiven Funktionswert hat, dann liegt hier ein Tiefpunkt in der ersten Ableitungsfunktion vor. Hier ist also ein Minimum der Steigung von f(x).
Wenn an einer Stelle xW die dritte Ableitungsfunktion einen negativen Funktionswert hat, dann liegt hier ein Hochpunkt in der ersten Ableitungsfunktion vor. Hier ist also ein Maximum der Steigung von f(x).
Wenn an einer Stelle xW die dritte Ableitungsfunktion gleich Null ist, dann ist die hinreichende bedingung nicht erfüllt, dann müssen weitere Untersuchungen unternommen werden

Zusammengefasst:


Hier kann z.B. das nächste Kriterium zur Klärung herangezogen werden:

7.4.3.2 Hinreichende Bedingung mit dem Vorzeichenwechselkriterium für die zweite Ableitungsfunktion

  • Wenn vor einer Stelle xW eine Rechts- und dahinter eine Linkskrümmung vorliegt, dann muss bei xW ein Tiefpunkt der Steigung sein. Hier hat sich an der Stelle xE also das Vorzeichen der Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion geändert.
  • Wenn vor einer Stelle xW eine Links- und dahinter eine Rechtskrümmung vorliegt, dann muss bei xW ein Hochpunkt der Steigung sein. Hier hat sich an der Stelle xE also das Vorzeichen der Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion geändert.
  • In allen anderen Fällen, wenn die Krümmung vor und hinter der Stelle xW eine Rechtskrümmung ist oder wenn vor und hinter der Stelle xW eine Linkskrümmung ist, dann liegt bei xW kein Wendepunkt vor

Solche Stellen gibt es dort, wo die zweite Ableitung einer Funktion eine doppelte, eine vierfache oder ein anderes gerades Vielfaches einer Nullstelle hat.

7.4.4 Berechnen der y-Koordinaten der Wendepunkte

Mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung rechnet man nur die Wendestellen aus, also die x-Koordinaten der Wendepunkte. Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen nun noch die Wendestellen in die Funktionsgleichung f(x) eingesetzt werden.
Die Extrempunkte mit x- und y-Koordinate lauten dann

Beispiel


Für die Berechnung von Wendepunkten muss man drei Ableitungen der Funktion f(x) bilden:
, und

Notwendige Bedingung für Wendestellen:


Da hier ein x ausgeklammert weren kann, ist schon eine Wendestelle bei zu sehen. Weitere Wendestellen gibt es für die xW, für die die Klammer gleich Null wird:

Hinreichende Bedingung für Wendestellen:



Berechnen der y-Koordinaten




Die Koordinaten der drei Wendepunkte sind also:

7.4.5 Aufgaben

Aufgaben mit Anwendungsbezug ( pdf )

Lösungen dazu ( pdf )

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