3 Verschieben und StreckenStauchen von Funktionsgrafen

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3.1 Verschieben einer Funktion um d entlang der Ordinate (y-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion verschiebt sich um d Einheiten entlang der Ordinate, wenn man an die Funktionsgleichung ein "+d" anhängt. Dabei kann d auch eine negative Zahl sein, dann verschiebt sich der Graph nach unten.
Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

• Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 10 Einheiten entlang der Ordinate nach oben verschoben ist:
  • g(x)=2·x² + 4·x - 1+10 also:
  • g(x)=2·x² + 4·x +9
• Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 7 Einheiten entlang der Ordinate nach unten verschoben ist:
  • g(x)=2·x² + 4·x - 1-7 also:
  • g(x)=2·x² + 4·x -8

3.2 Verschieben einer Funktion um c entlang der Abszisse (x-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion verschiebt sich um c Einheiten entlang der Abszisse nach rechts, wenn man jedes x in der Funktionsgleichung durch ein (x-c) ersetzt. Wenn c eine negative Zahl ist, verschiebt sich der Funktinsgraph nach links.
Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

• Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 5 Einheiten entlang der Abszisse nach rechts verschoben ist:
  • g(x)=2·(x-5)² + 4·(x-5) - 1 = 2·(x²-10·x+25) + 4·x-20 - 1 = 2·x² - 20 x +50+4·x-21 also
  • g(x)=2·x²-16·x+29
• Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 2 Einheiten entlang der Abszisse nach links verschoben ist:
  • g(x)=2·(x-(-2))² + 4·(x-(-2)) - 1 =2·(x+2)² + 4·(x+2) - 1 = 2·(x²+4·x+4) + 4·x+8 - 1 = 2·x² +8 x +8+4·x+7 also
  • g(x)=2·x²+12·x+15

3.3 Strecken einer Funktion um das a-fache entlang der Ordinate (y-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion wird um das a-fache entlang der Ordinate gestreckt, wenn man die Funktionsgleichung in Klammern setzt und dann mit a multipliziert.

• Wenn der Faktor a größer als 1 ist, dann wird der Funktionsgraf gestreckt.
• Ist der Faktor a zwischen 0 und 1, dann wird der Funktionsgraf gestaucht.
• Ist der Faktor a negativ, dann wird der gestreckte oder gestauchte Funktionsgraf zusätzlich noch an der Abszisse gespiegelt.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

• Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um das 3-fache entlang der Ordinate gestreckt ist:
  • h(x)=3 · (2·x² + 4·x - 1) also:
  • h(x)=6·x² + 12·x - 3

3.4 Strecken einer Funktion um das b-fache entlang der Abszisse (x-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion wird um das b-fache entlang der Ordinate gestreckt, wenn man jedes x in der Funktinsgleichung durch ein (x/b) ersetzt.

• Wenn der Faktor b größer als 1 ist, dann wird der Funktionsgraf gestreckt.
• Ist der Faktor b zwischen 0 und 1, dann wird der Funktionsgraf gestaucht.
• Ist der Faktor b negativ, dann wird der gestreckte oder gestauchte Funktionsgraf zusätzlich noch an der Ordinate gespiegelt.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

• Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um das 2-fache entlang der Abszisse gestreckt ist.
  • h(x)=2·(x/2)²+4·(x/2) - 1 =2·x²/2² +4· x/2 - 1 = 2· x²/4 + 2 · x - 1 also
  • h(x)= x²/2 + 2 · x - 1