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4 Lineare Funktionen

Funktionsgleichungen

Lineare Funktionen sind ganzrationale Funktionen ersten Grades (siehe Kapitel5).
Die Funktionsgleichungen linearer Funktionen lassen sich immer eine sogenannte Polynomdarstellung umwandeln:

f(x)=m · x + b

Dabei heißt b der y-Achsenabschnitt, Ordinatenabschnitt, oder auch Startwert. b ist die Zahl, in der die lineare Funktion die Ordinate schneidet. Ist b=0, dann spricht man von einer Ursprungsgeraden, weil der Funktionsgraph durch den koordinatenursprung (0|0) geht.

m ist die Steigung der Funktion. Je größer m ist, desto steiler geht der Funktionsgraph nach oben. Ist m negativ, dann geht der Funktionsgraph nach unten.

Die Steigung berechnet sich genau so, wie im Straßenverkehr: 12% Steigung heißt 12 m Höhenunterschied pro 100 Meter horizontaler Strecke, also m = 12 / 100 = 0,12 oder eben 12%

Berechnen der Steigung einer linearen Funktion

Wenn zwei beliebige Punkte A(ax|ay) und B(bx|by) gegeben sind, die auf dem Funktionsgrafen der linearen Funktion liegen, dann kann man die Steigung einfach berechnen:

Den +Winkel aus einer Steigung berechnen

Bestimmen des Ordinatenabschnitts b, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind

Gegeben ist eine Steigung m und ein Punkt A(ax|ay). Wie bei einer Punktprobe gilt dann für die gesuchte Funktion:
ay = m · ax + b
Wird diese Gleichung nach b umgestellt, dann erhält man der Ordinatenabschnitt.

Punkt-Steigungs-Form von linearen Gleichungen

Sind die Steigung m und ein Punkt A(ax|ay) gegeben, dann kann man alternativ zur Berechnung von b auch gleich die Punkt-Steigungs-Form linearer Gleichungen verwenden, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

Diese Gleichung entspricht einer ursprungsgeraden m · x, die um ax entlang der Abszisse und um ay entlang der Ordinate verschoben wurde. (siehe Kapitel3)

Nullstellen einer linearen Gleichung

Jede lineare Funktion, deren Steigung nicht gleich Null ist, schneidet genau einmal die Abszisse. Eine Nullstelle ist die Zahl auf der Abszisse, bei der sie vom Funktionsgraphen geschnitten wird. Bei einer Nullstelle ist daher der Funktionswert immer gleich Null:
Für Nullstellen gilt: f(xN)=0

Berechnen einer Nullstelle:

Gegeben ist die Funktion: f(x)=-3·x + 9
dann gilt f(xN)=0, also: -3·xN + 9 = 0
Auflösen nach xN ergibt: xN=3
Wenn man die Steigung und die Nullstelle einer linearen Funktion kennt, dann kann man diese auch in der sogenannten
Linearfaktordarstellung aufschreiben:
f(x)=m·(x-xN)
Beispiel: die Linearfaktordarstellung von f(x)=-3·x + 9 ist demnach f(x)=-3·(x - 3)
Das schöne an einer Linearfaktordarstellung ist, dass man von ihr die Nullstelle direkt ablesen kann.

Darstellungsformen linearer Funktionsgleichungen

die Polynomdarstellung, wenn die Steigung und der y-Achsenabschnitt bekannt sind
die Linearfaktordarstellung, wenn die Steigung und die Nullstelle bekannt sind
die Punkt-Steigungsform, wenn die Steigung und ein beliebiger Punkt P(px|py) bekannt sind

Funktionsgraphen

Die Funktionsgraphen einer linearen Funktion sind immer eine Gerade.

Aufgaben

Bestimmen der Funktionsgleichung aus Funktionsgraphen:

  1. Durch Verschieben einer Ursprungsgeraden (odt) (pdf)
  2. Zuordnen ablesen und zeichnen von Funktionsgraphen (odt) (pdf)
  3. Funktionsgleichungen erstellen aus Anwendungen (odt) (pdf)
    1. Lösungen (odt) (pdf)
  4. Aufgaben mit Anwendungsbezug (odt) (pdf)
    1. Lösungen (odt) (pdf)

Schnittpunkte linearer Funktionen

Um den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen zu berechnen, wird zuerst die Stelle xS berechnet, an der beide Funktionen den gleichen Funktionswert haben. Dies ist dann yS, die y-Koordinate des Schnittpunktes.
Beispiel (Siehe Abbildung oben) f(x)=0,5 x + 3 und f(x)= -2 x - 1

  1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen, f(xS)=g(xs): 0,5 x + 3 = -2 x - 1
  2. auflösen nach xS ergibt: xS = -8/5 = -1,6
  3. die Schnittstelle xS in eine der Gleichungen einsetzen: yS=f(-1,6)=0,5·(-1,6)+3 =-0,8 + 3 = 2,2
  4. Der Schnittpunkt ist S(xS | yS)= S(-1,6 | 2,2)

Aufgaben

Aufgaben (pdf) und Lösungen (pdf) dazu.