[ Vorherige ] [ Weiter ]

3 Verschieben und Strecken/Stauchen von Funktionsgrafen

Ausprobieren der Rezepte mit Geogebra

Wenn Sie Geogebra installiert haben (für den PC empfehle ich Version 5), dann können Sie diese Rezepte folgendermaßen ausprobieren:

  • Definieren Sie einen Parameter a, indem Sie in die Eingabezeile a=1 eingeben.
  • Definieren Sie eine beliebige Funktion als f(x), geben Sie z.B. in die Eingabezeile ein: f(x)=2 · x2 - 6 · x
  • Verschieben entlang der Ordinate: Geben Sie in die Eingabezeile ein: g1(x)=f(x)+a. Dann erscheint eine Funktion g1(x). Wenn Sie nun den Parameter a als Schieberegler darstellen lassen, dann können Sie die Funktion g(x) entlang der Ordinate hoch und herunter bewegen.
  • Verschieben entlang der Abszisse: Geben Sie in die Eingabezeile ein: g2(x)=f(x-a). Dann erscheint eine Funktion g2(x). Wenn Sie nun den Parameter a als Schieberegler darstellen lassen, dann können Sie die Funktion g(x) entlang der Abszisse nach links oder rechts bewegen.
  • Strecken/stauchen entlang der Ordinate: Geben Sie in die Eingabezeile ein: g3(x)=a · f(x). Dann erscheint eine Funktion g3(x). Wenn Sie nun den Parameter a als Schieberegler darstellen lassen, dann können Sie die Funktion g(x) entlang der Ordinate strecken und stauchen und auch an der Abszisse spiegeln (bei negativen a's).
  • Strecken/stauchen entlang der Abszisse: Geben Sie in die Eingabezeile ein: g4(x)=f(x/a). Dann erscheint eine Funktion g4(x). Wenn Sie nun den Parameter a als Schieberegler darstellen lassen, dann können Sie die Funktion g(x) entlang der Abszisse strecken und stauchen und auch an der Ordinate spiegeln (bei negativen a's).

Verschieben einer Funktion um d entlang der Ordinate (y-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion verschiebt sich um d Einheiten entlang der Ordinate, wenn man an die Funktionsgleichung ein "+d" anhängt. Dabei kann d auch eine negative Zahl sein, dann verschiebt sich der Graph nach unten.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

  • Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 10 Einheiten entlang der Ordinate nach oben verschoben ist:
g(x)=2·x² + 4·x - 1+10
also: g(x)=2·x² + 4·x +9
  • Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 7 Einheiten entlang der Ordinate nach unten verschoben ist:
g(x)=2·x² + 4·x - 1-7
also: g(x)=2·x² + 4·x -8

Verschieben einer Funktion um c entlang der Abszisse (x-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion verschiebt sich um c Einheiten entlang der Abszisse nach rechts, wenn man jedes x in der Funktionsgleichung durch ein (x-c) ersetzt. Wenn c eine negative Zahl ist, verschiebt sich der Funktinsgraph nach links.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

  • Gesucht ist eine Funktion g(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 5 Einheiten entlang der Abszisse nach rechts verschoben ist:
g(x)=2·(x-5)² + 4·(x-5) - 1 = 2·(x²-10·x+25) + 4·x-20 - 1 = 2·x² - 20 x +50+4·x-21
also g(x)=2·x²-16·x+29
  • Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um 2 Einheiten entlang der Abszisse nach links verschoben ist:
g(x)=2·(x-(-2))² + 4·(x-(-2)) - 1 =2·(x+2)² + 4·(x+2) - 1 = 2·(x²+4·x+4) + 4·x+8 - 1 = 2·x² +8 x +8+4·x+7
also g(x)=2·x²+12·x+15

Strecken einer Funktion um das a-fache entlang der Ordinate (y-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion wird um das a-fache entlang der Ordinate gestreckt, wenn man die Funktionsgleichung in Klammern setzt und dann mit a multipliziert.

  • Wenn der Faktor a größer als 1 ist, dann wird der Funktionsgraf gestreckt.
  • Ist der Faktor a zwischen 0 und 1, dann wird der Funktionsgraf gestaucht.
  • Ist der Faktor a negativ, dann wird der gestreckte oder gestauchte Funktionsgraf zusätzlich noch an der Abszisse gespiegelt.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

  • Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um das 3-fache entlang der Ordinate gestreckt ist:
h(x)=3 · (2·x² + 4·x - 1)
also: h(x)=6·x² + 12·x - 3

Strecken einer Funktion um das b-fache entlang der Abszisse (x-Achse)

Rezept: Gegeben ist eine beliebige Funktion f(x). Diese Funktion wird um das b-fache entlang der Ordinate gestreckt, wenn man jedes x in der Funktinsgleichung durch ein (x/b) ersetzt.

  • Wenn der Faktor b größer als 1 ist, dann wird der Funktionsgraf gestreckt.
  • Ist der Faktor b zwischen 0 und 1, dann wird der Funktionsgraf gestaucht.
  • Ist der Faktor b negativ, dann wird der gestreckte oder gestauchte Funktionsgraf zusätzlich noch an der Ordinate gespiegelt.

Beispiel: f(x)=2·x² + 4·x - 1

  • Gesucht ist eine Funktion h(x), die genau so aussieht wie f(x), nur dass sie um das 2-fache entlang der Abszisse gestreckt ist.
h(x)=2·(x/2)²+4·(x/2) - 1 =2·x²/2² +4· x/2 - 1 = 2· x²/4 + 2 · x - 1
also h(x)= x²/2 + 2 · x - 1