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1 Allgemeines zu Funktionen

Was ist eine Funktion?

Funktionen bezeichnen in der Mathematik Abhängigkeiten.

Beispiele:

Die Dichte der Luft hängt von der Temperatur ab. Die Dichte wird mit dem griechischen Buchstaben "" bezeichnet, für die Temperatur verwendet man in der Technik oft ein großes "T".
Die Funktion, also die Beschreibung, wie sich die Dichte verändert, wenn man die Temperatur verändert, heißt dann Dichte( Temperatur ) oder in Symbolen: . Ausgesprochen bedeutet das "Rho in Abhängigkeit von T" oder "Luftdichte in Abhängigkeit von der Temperatur". man sagt oft auch kürzer einfach "Rho von T".

Andere Abhängigkeiten sind:

  • Benzinverbrauch( zurückgelegte Strecke )
  • Fahrzeit ( Geschwindigkeit )
  • Körpergröße( Alter )
...

Vokabeln zu Funktionen

Die Größe in der Klammer nennt man unabhängige Variable. Die Größe, die mit Hilfe der unabhängigen Variable berechnet wird heißt abhängige Variable.

Die Menge aller Zahlen oder Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann, nennt man Definitionsbereich oder Definitionsmenge.
Die Menge aller Zahlen oder Werte, die die abhängige Variable annehmen kann, nennt man Wertebereich. oder Wertemenge.

Man sagt auch Funktionen sind eine Abbildung der Zahlen der Definitionsmenge auf die Zahlen der Wertemenge. Jeder Zahl aus der Definitionsmenge wird genau eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet. Darum sagt man auch, dass Funktionen eindeutige Abbildungen sind.

Die Temperatur in Abhängigkeit von der Tageszeit ist eine Funktion. Die Tageszeit in Abhängigkeit von der Temperatur hingegen ist in der Regel keine Funktion: Es kann sein, dass es morgens um 9.00 Uhr 10°C warm ist, dann wird es wärmer und am Abend gegen 19 Uhr ist die Temperatur wieder auf 10°C gesunken. Man kann dann von der Temperatur nicht eindeutig auf die Tageszeit schließen. Der Temperatur von 10°C können im oben genannten Beispiel zwei Tageszeiten zugeordnet werden: 9.00 Uhr und 19.00 Uhr. Daher ist die Abhängigkeit Tageszeit( Temperatur ) keine Funktion.

Darstellungsweisen von Funktionen

Man kann Funktionen auf unterschiedliche Weise beschreiben:
mathematisch: Als Funktionsgleichung
grafisch: Als Funktionsgraph: Siehe auch +Bezeichnungen in einem Koordinatensystems
tabellarisch: Als Wertetabelle

Beispiel: Füllhöhe eines Glases in Abhängigkeit von der Zeit:

Video

Funktionsgleichung:

Punktprobe:

Wenn ein Punkt P(px|py) gegeben ist, dann lässt sich einfach herausstellen, ob er auf dem Funktionsgraphen von einer Funktion f(x) liegt oder nicht: Setzen Sie die x-Koordinate px des Punktes für x ein und rechnen Sie den Funktionswert aus. Wenn dieser gleich der y-Koordinate py des Punktes ist, dann liegt der punkt auf dem Graphen von f(x). in allen anderen Fällen nicht.
Alle Punkte P(px|py) für die gilt f(px)=py, liegen auf dem Funktionsgraphen der Funktion f(x).

Wertetabelle:


Die beiden nebeneinander stehenden Zahlen sind jeweils Koordinaten eines Punktes auf dem Funktionsgraphen (rote Kreuze s.u.)

Funktionsgraph