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4 Kinetik

Bei der Berechnung von Bewegungsabläufen müssen zwei Fälle unterschieden werden:

Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Wenn sich auch die Beschleunigung mit der Zeit ändert, dann gelingen Berechnungen von Weg bzw. Ort, Geschwindigkeit oder Beschleunigung nur noch mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung.

Anwendung der Bewegungsgleichungen: Fallen und Werfen

Der freie Fall

Dies ist eine mit g (der Erdbeschleunigung) konstant beschleunigte Bewegung nach unten, also gilt:
v(t) = g · t und
h(t)= - 1/2 · g · t2 + h0


Der senkrechte Wurf

Im Grunde ist dies das Gleiche, wie der freie Fall, nur dass der geworfene Gegenstand eine Anfangsgeschwindigkeit v0 bekommt. Diese kann sowohl positiv (Wurf nach oben) als auch negativ (Wurf nach unten) sein.
v(t) = g · t + v0 und
h(t)= - 1/2 · g · t2 + v0 · t + h0


Der waagerechte Wurf

Hier müssen die waagerechte und die senkrechte Bewegung getrennt betrachtet werden. Es wird im Folgenden angenommen, dass es keinen Luftwiderstand gibt. Mit Luftwiderstand werden die Rechnungen sehr viel schwieriger und sind auch nicht mehr mit einfachen Formeln lösbar.

waagerechte Bewegung

Die waagerechte Bewegung wird ohne Luftwiderstand von nichts gebremst. Da ein geworfener Gegenstand nach dem Abwurf auch nicht mehr beschleunigt wird, ist dies in waagerechter Richtung eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit:
vx = konstant
x(t) = vx · t

senkrechte Bewegung

Nur senkrecht betrachtet ist der waagerechte Wurf nichts anderes als ein freier Fall. Dieser wird mit der waagerechten Bewegung zwar überlagert, kann aber einzeln berechnet werden:
vy(t) = g · t und
y(t)= - 1/2 · g · t2 + h0

Die Wurfparabel

Wenn man die Flugbahn beim waagerechten Wurf berechnen möchte, dann ist eine Gleichung y(x) gefragt. Das heißt wie hoch ist der Gegenstand, wenn er schon eine Weite x waagerecht geflogen ist. Dazu stellt man die Gleichung für x(t) nach der Zeit t um und setzt diese zeit in y(t) ein:
x(t) = vx · t ⇒ t = x/vx
y(t)= - 1/2 · g · t2 + h0 ⇒ y(x)= -1/2 · g · (x/vx)2 + h0
also
y(x)= -1/2 · g/vx2 · x2 + h0


Der "schiefe" Wurf

Der Schiefe Wurf wird ähnlich berechnet, wie der waagerechte Wurf, nur dass dies eine Kombination aus dem senkrechten Wurf und einer konstanten waagerechten Bewegung ist.
Beim schiefen Wurf lässt sich die Abwurfgeschwindigkeit v0, die den Winkel α hat, in die x- und die y-Komponente zerlegen:
v0x = v0 · cos(α) und
v0y = v0 · sin(α)

waagerechte Bewegung

v0x = konstant
x(t) = v0x · t = v0 · cos(α) · t

senkrechte Bewegung

wie beim senkrechten Wurf gilt:
vy(t) = -g · t + v0y und
y(t)= - 1/2 · g · t2 + v0y · t + h0

Die Wurfparabel

Genauso wie beim waagerechten Wurf wird nun t(x) in y(t) eingesetzt. So entsteht eine Gleichung y(x):
x(t) = v0x · t = v0 · cos(α) · t ⇒ t = x/v0x
y(t)= - 1/2 · g · t2 + v0y · t + h0 ⇒ y(x) = - 1/2 · g · (x/v0x)2 + v0y · (x/v0x) + h0
wenn man auch hier wieder die Variable x heraustrennt und berücksichtigt, dass tan(α)=sin(α)/cos(α), dann erhätl man die Wurfparabel: